极坐标与笛卡尔坐标
极坐标与笛卡尔坐标笛卡尔坐标系极坐标系转换笛卡尔坐标转换为极坐标极坐标转换为笛卡尔坐标但如果 X 和 Y 是负数呢？
总结
极坐标与笛卡尔坐标
笛卡尔坐标系
极坐标系
转换
从一个系统转换到另一系统，我们用这个三角形：
笛卡尔坐标转换为极坐标
当我们知道一点的笛卡尔坐标
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 想转换成极坐标
(
r
,
θ
)
(r,θ)
(r,θ)，我们需要解一个有两条已知边的直角三角形。
例子： (12,5) 的极坐标是什么？ 用勾股定理去计算长的一边（斜边）：
r
2
=
122
+
52
r
=
√
(
122
+
52
)
r
=
√
(
144
+
25
)
r
=
√
(
169
)
=
13
\begin{aligned} &r^2 = 122 + 52\\ &r = √ (122 + 52)\\ &r = √ (144 + 25)\\ &r = √ (169) = 13 \end{aligned}
r2=122+52r=√(122+52)r=√(144+25)r=√(169)=13
用正切函数去计算角度：
t
a
n
(
θ
)
=
5
/
12
θ
=
t
a
n
−
1
(
5
/
12
)
=
22.6
°
（
精
确
到
一
位
小
数
）
\begin{aligned} &tan( θ ) = 5 / 12\\ &θ = tan-1 ( 5 / 12 ) = 22.6° （精确到一位小数）\\ \end{aligned}
tan(θ)=5/12θ=tan−1(5/12)=22.6°（精确到一位小数）
答案：(12,5) 的极坐标是 (13, 22.6°)。
所以，笛卡尔坐标
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 转换为极坐标
(
r
,
θ
)
(r,θ)
(r,θ):
r
=
(
x
2
+
y
2
)
r = \sqrt{ ( x^2 + y^2 )}
r=(x2+y2)
θ
=
tan
−
1
(
y
/
x
)
θ = \tan^{-1} ( y / x )
θ=tan−1(y/x)
注意：当 x 或 y 是负数时，计算器可能得到错误的 tan-1 () 的值……继续看下去。
极坐标转换为笛卡尔坐标
当我们知道一点的极坐标
(
r
,
θ
)
(r, θ)
(r,θ)，想转换为笛卡尔坐标
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)，我们需要解一个有已知斜边和角度的直角三角形：
例子：(13, 22.6°)的笛卡尔坐标是什么？
用
x
x
x 的余弦函数：
cos
(
22.6
°
)
=
x
/
13
\cos( 22.6 °) = x / 13
cos(22.6°)=x/13
重排及解：
x
=
13
×
c
o
s
(
22.6
°
)
x
=
13
×
0.923
x
=
12.002...
\begin{aligned} &x = 13 × cos( 22.6 °)\\ &x = 13 × 0.923\\ &x = 12.002...\\ \end{aligned}
x=13×cos(22.6°)x=13×0.923x=12.002...
用
y
y
y 的正弦函数：
sin
(
22.6
°
)
=
y
/
13
\sin( 22.6 °) = y / 13
sin(22.6°)=y/13
重排及解：
y
=
13
×
s
i
n
(
22.6
°
)
y
=
13
×
0.391
y
=
4.996
…
…
\begin{aligned} &y = 13 × sin( 22.6 °)\\ &y = 13 × 0.391\\ &y = 4.996……\\ \end{aligned}
y=13×sin(22.6°)y=13×0.391y=4.996……
答案： (13, 22.6°) 的笛卡尔坐标是差不多 (12, 5)。
所以，极坐标
(
r
,
θ
)
(r,θ)
(r,θ) 转换为笛卡尔坐标
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)：
x
=
r
×
cos
(
θ
)
x = r × \cos( θ )
x=r×cos(θ)
y
=
r
×
sin
(
θ
)
y = r × \sin( θ )
y=r×sin(θ)
但如果 X 和 Y 是负数呢？
总结
极坐标
(
r
,
θ
)
(r,θ)
(r,θ) 转换为笛卡尔坐标
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)：
x
=
r
×
cos
(
θ
)
x = r × \cos( θ )
x=r×cos(θ)
y
=
r
×
sin
(
θ
)
y = r × \sin( θ )
y=r×sin(θ)
笛卡尔坐标
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 转换为极坐标
(
r
,
θ
)
(r,θ)
(r,θ):
r
=
(
x
2
+
y
2
)
r = \sqrt{ ( x^2 + y^2 )}
r=(x2+y2)
θ
=
tan
−
1
(
y
/
x
)
θ = \tan^{-1} ( y / x )
θ=tan−1(y/x)
tan
−
1
(
y
/
x
)
\tan^{-1}( y/x )
tan−1(y/x) 可能需要调整：
象限 I: 用 计算器的值 象限 II: 加 180° 象限 III: 加 180° 象限 IV: 加 360°
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